Poisson 计数模型简介

模型背景

泊松回归模型（Poisson Regression Model）是广义线性模型（GLM）的一种，专门用于处理非负整数计数数据（Count Data）。当因变量 $Y$ 表示单位时间内某事件发生的次数（如：每月事故数、每日就诊人数、网站点击量等）时，普通最小二乘法（OLS）往往不再适用，因为计数数据通常不服从正态分布，且方差随均值变化。

核心假设

该模型假设因变量 $Y$ 服从泊松分布，其概率质量函数为：
$$ P(Y=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $$
其中，$\lambda$ 是事件的平均发生率（即期望值 $E[Y]$）。

模型形式

为了将线性预测子与正值参数 $\lambda$ 联系起来，模型使用对数链接函数（Log Link）：
$$ \ln(\lambda) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_k X_k $$
或者写作：
$$ E[Y|X] = \exp(\beta_0 + \beta_1 X_1 + \dots + \beta_k X_k) $$

系数解释

• 系数 $\beta_j$：表示解释变量 $X_j$ 每增加一个单位，对数期望计数的变化量。
• 发生率比 (Incidence Rate Ratio, IRR)：$\exp(\beta_j)$ 表示 $X_j$ 每增加一个单位，事件发生率的倍数变化。例如，若 $\exp(\beta_1) = 1.2$，则意味着 $X_1$ 每增加 1 单位，事件发生率平均增加 20%。

注意事项

• 过度离散 (Overdispersion)：如果数据的方差显著大于均值（$Var(Y) > E[Y]$），泊松模型的假设可能失效，此时应考虑使用负二项回归（Negative Binomial Regression）。
• 零膨胀 (Zero-inflation)：如果数据中包含过多的零值，可能需要使用零膨胀泊松模型（ZIP）。

结果展示说明

本部分描述运行 main.do 文件后，Stata 输出窗口中将呈现的文字结果。

1. 描述性统计部分

• 输入操作：程序自动执行 summarize y x1 x2。
• 输出内容：
  • 将显示变量 y（计数因变量）、x1（连续自变量）和 x2（二元自变量）的样本量（Obs）、均值（Mean）、标准差（Std. Dev.）、最小值（Min）和最大值（Max）。
  • 用户可以看到 y 的均值大约接近模拟设定的基准水平，且 y 的最小值为 0，最大值为某个正整数，符合计数数据特征。

2. 泊松回归估计结果

• 输入操作：程序自动执行 poisson y x1 x2, vce(robust)。
• 输出内容：
  • 表头：显示迭代次数（Iteration log），表明模型已收敛。
  • 回归系数表：
  • 列出 y 作为因变量，x1 和 x2 作为自变量。
  • Coef. 列：显示估计的 $\beta$ 系数。预期 x1 的系数接近 0.8，x2 的系数接近 -0.6，常数项 _cons 接近 0.5。
  • Std. Err. 列：显示稳健标准误。
  • z 列：显示 z 统计量（系数除以标准误）。
  • P>|z| 列：显示显著性 P 值。由于是模拟数据且样本量较大（N=1000），预期 P 值非常小（<0.05），表明变量显著。
  • [95% Conf. Interval]：显示系数的 95% 置信区间。
  • 底部统计量：显示对数伪似然值（Log pseudolikelihood）、样本量（No. of obs）以及使用的标准误类型（Robust）。

3. 边际效应分析

• 输入操作：程序自动执行 margins, dydx(*) atmeans。
• 输出内容：
  • 显示在自变量取均值时，各变量的平均边际效应 (Average marginal effects)。
  • dy/dx 列：数值表示当 x1 增加 1 个单位（或 x2 从 0 变为 1）时，y 的期望计数（Expected Count）的绝对变化量。
  • 结果将包含标准误、z 值、P 值及置信区间，用于判断边际效应的显著性。

4. 拟合优度预览

• 输入操作：程序执行预测并列出前 10 行分组数据。
• 输出内容：
  • 列表显示不同预测值水平下，观测到的平均计数 (y_obs) 与模型预测的平均计数 (y_pred)。
  • 用户可通过肉眼观察这两列数值是否接近，以此初步判断模型对数据的拟合程度。若两者高度一致，说明模型拟合良好。